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一、导数定义：

• 函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处导数存在 $\iff$ $f(x)$ 在该点的左右导数均存在且相等
• 函数在某点导数存在 $\Rightarrow$ 函数在该点必定连续
  • 注意！！！该定义说的是：如果函数在某点的导数存在，则该函数在该点连续，而不是指导函数在该点连续
  • 若函数在某点连续 $\Rightarrow$ 不一定在该点可导， 例：$y=|x|$
• 🌟🌟🌟导数存在的条件：导数在某点的左右导数均存在且相等，则该函数在该点可导
• $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导 $\nRightarrow$ $f(x)$ 在 $x=x_0$ 附近可导 （可以联系一下连续的这个类似结论，一起记忆，即：函数在某点连续，则在该点附近不一定连续，可结合狄利克雷函数进行分析，对$y=xD(x)$ 进行分析）
  • 狄利克雷函数：$D(x)=1,x\text{为有理数}$；$D(x)=0,x\text{为无理数}$
• 导数的定义要求函数在该点及其邻域内有定义，且该点处函数值必须等于极限值（即连续）

导数的几何意义

• 某点导数存在，则该点一定存在切线；反之，若某点存在切点，不一定有导数（如：铅直切线，导数为无穷大，即：不存在）

导数的函数定义

$f\prime (x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$ 或 $f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 高阶导数写法：$f\prime (x),f\prime \prime (x),f\prime \prime \prime (x)$ ，当 $n>4$ 时，必须写作 $f^{(n)}(x)$

二、🌟例题重要结论

1. 🌟🌟🌟🌟🌟设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，$F(x)=f(x)|x-a|$，则 $f(a)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=a$ 处可导的充要条件
   • 证明见基础30讲P152，例题3.5
   • 强化理解：见例题3.6

三、导数重要结论

• $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 $\Rightarrow$ $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处连续
• $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导 $\nLeftrightarrow$ $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导
  • 🌟🌟🌟若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，$f(x_0)=0$ 且 $f\prime (x_0)\ne 0$ $\Rightarrow$ $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处必定不可导 ^[1]
    • 若$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，$f(x_0)=0$ 且 $f\prime (x_0)=0\Rightarrow |f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导
  • 🌟🌟🌟若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f(x_0)\ne 0$ $\Rightarrow$ $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导

四、微分

微分与导数的关系

• 🌟可微一定可导，可导一定可微，两者互为充要条件
• 区分可导与可微
  • 可微：$\mathrm{\Delta }y=dy+O(\mathrm{\Delta }x)$ ，其中 $dy=A\mathrm{\Delta }x$，$A$ 为 $f\prime (x_0)$
  • 可导：$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$ 或 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ ；注意广义化的使用
    • 广义化：$\underset{\mathrm{狗}\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{狗})-f(x_0)}{\mathrm{狗}}$ 所以 $\mathrm{\Delta }y-dy=O(\mathrm{\Delta }x)$
• 为什么 $dx=\mathrm{\Delta }x$ ------- 因为 $\mathrm{\Delta }x=dx+o(\mathrm{\Delta }x)$，其中 $o(\mathrm{\Delta }x)=0$

可微的判别

1. 写增量 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$
2. 写线性增量 $A\mathrm{\Delta }x=f\prime (x_0)\mathrm{\Delta }x$
3. 作极限 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y-A\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}\iff \mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$ 若左式极限为0（可推出右式），则 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微

可微的几何意义

若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，则在点 $(x_0,y_0)$ 附近可以用切线段近似代替曲线段

五、需要记忆的函数

1. 奇函数：$g(x)=\frac{1}{2^x+1}-\frac{1}{2}$

贡献者

freeway348

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1. 重点记忆：原函数可导与绝对值函数可导的关系 ↩︎