二重积分

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6 分钟

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一、基础知识结构

1. 概念、性质与对称性
   1. 概念
   2. 性质
   3. 🌟对称性（重要考点）
      1. 普通对称性
      2. 轮换对称性（对称问题尽量使用对称方法去解决）
2. 计算：
   1. 直角坐标系
   2. 极坐标系
   3. 极坐标系与直角坐标系的相互转化
   4. 换元法

二、概念、性质与对称

概念可联系前面所学的定积分，只是将二维变成了三维

1. 概念

对于二重积分概念的理解可以想象一个圆顶柱体（$f(x,y)\ge 0$），我们将其在xOy面将其划分为 n 个小柱体，小柱体的圆顶近似为平面，$d\sigma$ 和 $\mathrm{\Delta }\sigma$ 均表示的是小柱体的底面积 重要的是微元法思想，一通百通

2. 性质

可参考定积分的性质结合记忆，这两者有诸多相似之处

1. 性质1（求区域面积）：$\underset{D}{\iint }1\cdot \mathrm{d}\sigma =\underset{D}{\iint }\mathrm{d}\sigma =A$，其中A为D的面积
2. 🌟性质2:（可积函数必有界）：当$f(x,y)$ 在有界闭区域D上可积时，$f(x,y)$ 在D上必有界
3. 🌟🌟🌟性质3（积分的线性性质）：$\underset{D}{\iint }[k_{1}f(x,y)\pm k_{2}g(x,y)]\mathrm{d}\sigma =k_1\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \pm k_2\underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$
4. 🌟🌟🌟性质4（积分的可加性）：设$f(x,y)$ 在有界闭区域D上可积，且 $D_1\cup D_2=D,D_1\cap D_2=\mathrm{\varnothing }$ （$D_1,D_2$ 合并为有界闭区域D，相交为空集），则： $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{D_1}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma +\underset{D_2}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$
5. 性质5（积分的保号性）：当$f(x,y),g(x,y)$ 在有界闭区域D上可积时，若在D上有 $f(x,y)\le g(x,y)$，则有 $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le \underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$ （保持原有的不等关系）
   • 特别地，有：$|\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma |\le \underset{D}{\iint }|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$
     • 口诀：亡羊补牢 $\le$ 未雨绸缪
6. 性质6（二重积分的估值定理）：设 $M,m$ 分别是 $f(x,y)$ 在有界闭区域D上的最大值和最小值，A为D的面积，则有：$mA\le \underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le MA\Rightarrow m\le f(x,y)\le M$
   • $mA=\underset{D}{\iint }m\mathrm{d}\sigma ,MA=\underset{D}{\iint }M\mathrm{d}\sigma$
7. 🌟🌟🌟性质7（二重积分的中值定理）：设函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在一点 $(\xi ,\eta )$ ，使得：$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =f(\xi ,\eta )A$
   • 该中值定理的被积函数若是二阶连续偏导数，也可以使用该中值定理进行计算

3. 🌟🌟🌟对称性

(1) 普通对称性

见书本P387，本内容较简单，不作讲解处理，但该内容较重要，需要多加练习，熟练掌握

(2) 轮换对称性（一定是直角坐标系下）

在直角坐标系下，若把 x 与 y 对调后，区域D不变（或区域D关于 y=x 对称），则 $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{D}{\iint }f(y,x)\mathrm{d}\sigma$ ，这就是轮换对称性 $\mathrm{d}\sigma =\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\mathrm{d}y\mathrm{d}x$

🌟轮换对称性的应用：$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 与 $\underset{D}{\iint }f(y,x)\mathrm{d}\sigma$ 难计算，但$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma +\underset{D}{\iint }f(y,x)\mathrm{d}\sigma$ 之和的式子简单 可结合区间再现的应用，同样是两式（原式与变换后的式子）之和更简单时才使用

区分平普通对称性中区域D关于y=x对称 和 轮换对称性

1. 普通对称性考查的是$f(x,y)$ 与 $f(y,x)$ 是相等还是相反
2. 轮换对称性考查的是$f(x,y)+f(y,x)$ 是否简单
3. 事实上，当$f(x,y)=-f(y,x)$ 时，它们是一回事

三、计算

1. 求直角坐标系的二重积分

直角坐标系用平行于坐标系的线切割。在直角坐标系下，按照积分次序的不同，一般将二重积分的计算分为两种情况：先x后y，和先y后x

牢记口诀，帮助记忆：后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限

(1) 先x后y

(2) 先y后x

(3) 注意事项

注

二重积分的下限都必须小于等于上限，这是二重积分的基本定义（$\mathrm{d}x>0,\mathrm{d}y>0,\mathrm{d}\sigma >0$） 如：${\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y=-{\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{{\varphi }_2(x)}^{{\varphi }_1(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$（$a<b,{\varphi }_1(x)>{\varphi }_2(x)$）

计算时最好画出积分区域D的边界图形，若不易画出时，可采用分析法，即：写出D的不等式表达式，从而确定上下限

(4) 积分结论

1. ${\int }_0^1\arcsin \sqrt{1-x^2}dx=1$

2. 求极坐标系的二重积分

TIP

好好用微元法理解极坐标二重积分的计算，理解为什么$d\sigma =dr\cdot rd\theta =rdrd\theta$

• 极点的三种情况对应的公式分别为：
  1. $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$ （极点O在区域D外部，对应图14-8(a) ）
  2. $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_0^{r(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$ （极点O在区域D边界上，对应图14-8(b) ）
  3. $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{r(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$ （极点O在区域D内部，对应图14-8(c) ）

3. 极坐标系还是用直角坐标系选择的一般原则

一般来说，给出一个二重积分，如果满足以下两个条件之一，则优先使用极坐标系；否则就优先考虑直角坐标系

1. 看被积函数是否为 $f(x^2+y^2),f(\frac{y}{x}),f(\frac{x}{y})$ 等形式
   • $r^2=x^2+y^2,\frac{y}{x}=\tan \theta ,\frac{x}{y}=\cot \theta$
2. 看积分区域是否为圆或圆的一部分

4. 极坐标系与直角坐标系之间的相互转换

两个诀窍：

1. 用好 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ 这个公式
2. 画出区域D的边界图形，做好上下限的转化

TIP

要注意，dr 的上下限是由 dxdy 的边界转化而来的，有关 $r(\theta )$ 的函数

5. 🌟🌟🌟换元法（重中之重）^[1]

牢记“换元要三换”

贡献者

freeway348

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74226-Create 抓阄原理.md

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1. 一定要会灵活应用 ↩︎