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一、🌟🌟🌟基本积分公式^[1]

判断积分结果是否正确，只要对其求导，判断是否等于积分前的函数即可

1. $\int x^{k}dx=\frac{1}{k+1}{x}^{k+1}+C,k\ne -1;$
2. $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
3. $\int e^{x}dx=e^x+C$
4. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,a>0\text{且}a\ne 1$ $(a^x)\prime =a^x\ln a$
5. $\int \sin xdx=-\cos x+C$
6. $\int \cos xdx=\sin x+C$
7. 🌟$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$
8. 🌟$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$
9. 🌟$\int \frac{dx}{\cos x}=\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$
10. 🌟$\int \frac{dx}{\sin x}=\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$
11. $\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$
12. $\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$
13. $\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$
14. $\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$
15. $\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$
16. 🌟$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C(a>0)$
17. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$
18. 🌟$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C(a>0)$
19. 🌟$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C(\text{常见}a=1)$ （a=1时，$\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ 为反双曲正弦函数）
20. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C(|x|>|a|)$ （若x 取负值，则 $x+\sqrt{x^2-a^2}$ 可能为负，所以要加绝对值）
21. 🌟$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C(\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x+a}{x-a}|+C)$
22. 🌟$\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C(a>|x|\ge 0)$
23. 🌟$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C({\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2})$
24. 🌟$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C({\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2})$
25. 🌟$\int {\tan }^{2}xdx=\tan x-x+C({\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1)$
26. 🌟$\int {\cot }^{2}xdx=-\cot x-x+C({\cot }^{2}x={\csc }^{2}x-1)$

二、不定积分的积分法

1. 凑微分法

• $\int f[g(x)]g\prime (x)dx=\int f[g(x)]d[g(x)]=\int f(u)du$
  • 若凑微分结束后可用积分公式，则结束

（1）常用凑微分公式（）

1. 由于 $xdx=\frac{1}{2}d(x^2)$，故 $\int xf(x^2)dx=\frac{1}{2}\int f(x^2)d(x^2)=\frac{1}{2}\int f(u)du$
2. 由于 $\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}d(x^{\frac{3}{2}})$，故 $\int \sqrt{x}f(x^{\frac{3}{2}})dx=\frac{2}{3}\int f(x^{\frac{3}{2}})d(x^{\frac{3}{2}})=\frac{2}{3}\int f(u)du$
3. 由于 $\frac{dx}{\sqrt{x}}=2d(\sqrt{x})$，故 $\int \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx=2\int f(\sqrt{x})d(\sqrt{x})=2\int f(u)du$
4. 由于 $\frac{dx}{x^2}=d(-\frac{1}{x})$，故 $\int \frac{f(-\frac{1}{x})}{x^2}dx=\int f(-\frac{1}{x})d(-\frac{1}{x})=\int f(u)du$
5. 待补充（基础30讲P280）

2. 换元法

1. 基本思想：
2. 常用换元法
   1. 三角函数代换：当被积函数含有如下根式时，可作三角函数代换，这里 $a>0$

3. 分部积分法

1. $\int udv=uv-\int vdu$
   • $\int udv$ 难算，而 $\int vdu$ 容易计算时，可考虑分部积分法
2. 分部积分法的推广公式与 $\int P_n(x)e^{kx}dx$，$\int P_n(x)\sin axdx$，$\int P_n(x)\cos bxdx$ 设函数 $u=u(x)$ 与 $v=v(x)$ 具有直到第 n+1 阶的连续导数，并根据分部积分公式：$\int udv=uv-\int vdu$ ，则有：$\int u{v}^{(n+1)}dx=u{v}^{(n)}-u\prime v^{(n-1)}+u\prime \prime v^{(n-2)}-\cdots +(-1{)}^n{u}^{(n)}v+(-1{)}^{n+1}\int u^{(n+1)}vdx$ 辅助记忆：等式右边的各项正负交替出现，奇数项为正，偶数项为负（也可使用图中的表格法） 证明过程： 因为从左到右，u 逐渐变为高阶导，而 v 逐渐变为低阶导，由于导数均连续，故 $v^{(n-1)}$ 也可看做 $v^{(n)}$ 的原函数

4. 🌟🌟🌟有理函数的积分

1. 定义：形如 $\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx(n<m)$ 的积分称为有理函数的积分，其中 $P_n(x),Q_m(x)$ 分别是 $x$ 的 n 次多项式和 m 次多项式
   • $n<m$ 时为真分式，$n\ge m$ 时为假分式
2. 思想：若 $Q_m(x)$ 在实数域内可因式分解，则因式分解后再把 $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ 拆成若干项最简有理分式之和 有理式=最简有理分式之和，其中最简有理分式分为如下形式： $\frac{A}{ax+b},\frac{A_k}{(ax+b{)}^k},\frac{Ax+B}{p{x}^2+qx+r},\frac{A_{k}x+B_k}{(p{x}^2+qx+r{)}^k}(k>0,k\ne 1)$
   • 可拆的都是真分式，且不可继续因式分解
   • 拆完后不知道其具体函数，可用待定系数法，先写出拆后应有的形式，再进行求解并代入，以得正解

助记

分母 $Q_m(x{)}^k$ 有几次方，则其拆分后有理分式就有几项，且分母是从 1 次方一直到 k 次方都有

三、定积分的计算

• 设函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$
• 证明：令 $G(x)={\int }_a^{x}f(t)dt,a\le x\le b$ ，则有：$G(b)={\int }_a^{b}f(t)dt,G(a)=0$，又 $F\prime (x)=f(x)$ 且 $G(x)=F(x)+C$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx=G(b)-G(a)=F(b)-F(a)$$G(b)=F(b)+C,G(a)=F(a)+C$

牛顿-莱布尼茨公式推广

只要函数在区间上可积，则必定可用牛顿-莱布尼茨公式

定积分的换元法和分部积分法

牢记

1. 若使用定积分换元法，要始终牢记，换元要三换
2. $f(x)$ 以 T 为周期的连续函数时，对于任意实数 $a$，均有 ${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$

🌟🌟🌟区间再现公式和华里士公式（点火公式）^[2]

区间再现公式的使用

若 $f(x)$ 复杂， $f(x)+f(a+b-x)$ 简单，则考虑 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^b\frac{f(x)+f(a+b-x)}{2}dx$

🌟🌟🌟四、变限积分的计算^[3]

• 设 $F(x)={\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(t)dt$ ，其中 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，可导函数 ${\varphi }_1(x)$ 和 ${\varphi }_2(x)$ 的值域在 $[a,b]$ 上，则在函数 ${\varphi }_1(x)$ 和 ${\varphi }_2(x)$ 的公共定义域上，有：$F\prime (x)=\frac{d}{dx}[{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(t)dt]=f[{\varphi }_2(x)]{\varphi }_2\prime (x)-f[{\varphi }_1(x)]{\varphi }_1\prime (x)$^[4]

注意！！！

我们称 x 为“求导变量”， t 为“积分变量”。当被积函数中只含“积分变量” t 时，才能用求导公式，即：当形如 ${\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(t)dt$ 的积分出现时，才能对其求导，当形如${\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(t,u)dt$ 的形式出现时，由于 u 不是关于 x 的函数，故可将其看做常量，故也可对该积分求导；若积分形式为：${\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(x,t)dt$ 时，则无法对其直接求导，必须通过恒等变形（如：变量代换等）将 x 移出被积函数，才能使用变限积分求导公式

重要结论

五、反常积分的计算

计算反常积分时，注意识别奇点（端点、瑕点）

$\mathrm{\Gamma }$ 函数(伽马函数) ()()()()

计算反常积分时，若能凑成 $\Gamma$ 函数的形式，可用上 $\Gamma$ 函数相关知识，能更快 更准确地解决问题

1. 定义：$\mathrm{\Gamma }(\alpha )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx\stackrel{x=t^2}{=}2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{2\alpha -1}{e}^{-t^2}dt(x,t>0)(\alpha -1>0)$
2. 递推式：$\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha }{e}^{-x}dx=-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha }d(e^{-x})=-x^{\alpha }{e}^{-x}{|}_0^{+\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\alpha x^{\alpha -1}dx=\alpha \mathrm{\Gamma }(\alpha )$
3. 其中 $\mathrm{\Gamma }(1)=1,\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$，故 $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!,\mathrm{\Gamma }(2)=1,\mathrm{\Gamma }(\frac{5}{2})=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2},\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})=\frac{3}{4}\sqrt{\pi }$

注解结论

1. 若函数 $f(x)$ 是连续且以 T 为周期的奇函数，则 ${\int }_0^{T}f(x)dx=0$

贡献者

freeway348

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1. 🌟🌟🌟要求必会 ↩︎

2. 🌟🌟🌟要牢记点火公式的应用，还有区间再现公式，在没有突破口时有奇效 ↩︎

3. 🌟🌟🌟若上下限为函数，则对该积分求导，应遵循变限积分计算 ↩︎

4. 🌟🌟🌟注意变限积分求导的用法（怎么用） ↩︎