15 微分方程

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2 分钟

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一、可分离变量型微分方程

1. 直接可分离

能写成 $y\prime =f(x)g(y)$形式的方程称为可分离变量型微分方程，解法为：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Rightarrow \int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$ “物以类聚，人以群分”

2. 换元后可分离

形如$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$ 的方程，其中常数 $a,b$ 全都不为零，解法为：令$u=ax+by+c$，则 $\frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}$，代入原方程得 $\frac{du}{dx}=a+bf(u)$ 将 u 对 x 求偏导后，将 $\frac{dy}{dx}$ 用 $du,dx$ 之间的关系来替代

二、齐次型微分方程

TIP

不要把齐次型微分方程与齐次微分方程混淆

形如 $\frac{dy}{dx}=\varphi (\frac{y}{x})$ 的方程叫做齐次型微分方程，解法为：令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux\Rightarrow \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$，于是原方程变为 $x\frac{du}{dx}+u=\varphi (u)$，即：$\frac{du}{\varphi (u)-u}=\frac{dx}{x}$

三、🌟🌟🌟一阶线性微分方程

形如 $y\prime +p(x)y=q(x)$ 的方程叫做一阶线性微分方程，其中 $p(x),q(x)$ 为已知的连续函数，其通解公式为 $y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)dx+c]$

四、伯努利方程

贡献者

freeway348

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