积分等式与积分不等式

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819 字

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4 分钟

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重难点警告！！！

本章节会出大题，或出难度大的小题

一、总体框架概括

1. 积分等式

做法：

1. 用中值定理
2. 用夹逼准则
3. 用积分法

常用：

1. ${\int }_a^b$
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b$

2. 积分不等式

做法：

1. 用函数单调性
2. 用拉格朗日中值定理
3. 用泰勒公式
4. 用积分法
5. 用牛顿-莱布尼茨公式

二、积分等式

1. 用中值定理

• 🌟🌟🌟推广的积分中值定理：设$f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $g(x)$ $[a,b]$ 上不变号（即：$g(x)$恒正、恒负或恒为0），则存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得 ${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$ ^[1]
  • 与积分中值定理的关系：当 $g(x)=1>0$ 时，即：${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a),\xi \in [a,b]$，即为积分中值定理
  • 证明过程：P330

2. 用夹逼准则

要点

牢记各种放缩方法，灵活运用

3. 用积分法

1. 恒等变形
2. 换元法
3. 分部积分法

三、积分不等式

1. 用函数的单调性

通常的做法：首先将某一积分上限（或下限）变量化，然后移项（将不等式右式均移到左式中）构造辅助函数，由辅助函数的单调性（分析其导数）来证明不等式，此方法多用于所给条件为“$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续”的情形

2. 用拉格朗日中值定理

此方法多用于所给条件为“$f(x)$ 一阶可导”（为了可应用拉格朗日中值定理创造条件，构造$f\prime (x)$ 和 $f(x)$ 的关系）且某一端点值较简单（甚至为0）的题目

3. 用泰勒公式

此方法多用于所给条件为“$f(x)$ 二阶可导”且题中有简单函数值（甚至为0)的题目 别忘记泰勒展开的公式：

1. 带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：
   • 设$f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内n+1阶导数存在（区间内），则对该邻域内的任意点x，有：$f(x)=f(x_0)+f\prime (x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{(n+1)}$
   • 其中 $\xi$ 介于 $x,x_0$ 之间，即：$\xi$ 在 $x_0$ 的邻域内
   • 该公式适用于区间 $[a,b]$，常在证明题中使用，如：证不等式，中值等式等
2. 带佩亚诺余项的n阶泰勒公式：
   • 设$f(x)$ 在点 $x_0$ 处n阶可导（局部，即：仅 $x_0$ 这一点），则存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内的任意点x，有：$f(x)=f(x_0)+f\prime (x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+O((x-x_0{)}^n)$
   • 该公式仅适用于点 $x=x_0$ 及其邻域，常用于研究点 $x=x_0$ 处的某些结论

4. 用积分法

1. 被积函数是两项相乘的形式，可以考虑用分部积分法去做

5. 用牛顿-莱布尼茨公式

贡献者

freeway348

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1. 重点知识结论，f(x)g(x) 积分的中值定理用法 ↩︎