2. 做题技巧

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一、泰勒展开的妙用

导数相关大题思路

首先联想到导数在某点的定义，泰勒展开式，拉格朗日定理，罗尔定理等相关公式，再根据每个公式定理的性质与形式来判断使用哪个

1. 当遇到需求二阶导甚至三阶导的大题时（一般仅到二阶导），但却仅给出原函数的部分条件，最终要求证明有关一阶导的结论，此时应当使用泰勒展开
   • 已知在点 $x_0$ 处的泰勒展开公式为：$f(x)=f(x_0)+f\prime (x)(x-x_0)+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{(n+1)}$ ，需要几项就写几项，若仅需求二阶导与原函数和一阶导的关系，则仅列举到二阶，其中，二阶项为拉格朗日余项，即：$f(x)=f(x_0)+f\prime (x)(x-x_0)+\frac{f\prime \prime (\xi )}{2!}(x-x_0{)}^2$
     • 此处使用带拉格朗日余项的泰勒公式，具体使用带佩亚诺余项的泰勒公式还是拉格朗日的泰勒公式，都需要根据具体情况判断，但大多数情况下，仍较多使用带拉格朗日余项的泰勒公式
   • 泰勒展开后，若题目已给出原函数的特殊点和二阶导函数的不等式关系，则可考虑特殊点代入 $x_0$ 后，联立方程求解；若无法求得解，或是无法继续计算，则考虑另一条思路：即将特殊点代入 x，使得原泰勒公式方程变为 $f(x_0)=f(x)+f\prime (x_0)(x_0-x)+\frac{f\prime \prime (\xi )}{2!}(x_0-x{)}^2$ ，随后联立方程组必能求出解
     • 该变换后的泰勒公式可看作是在区间内一点 $x$ 进行泰勒展开，并对其附近的近值点 $x_0$ 进行分析
     • 带拉格朗日余项的一阶泰勒公式（最高阶为一阶）就是拉格朗日定理 例：

二、常用图像面积

1. $|\sin x|$ 的一拱面积为2 示意图：

三、函数极限定义法的使用

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\Rightarrow \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,0<|x-x_0|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\Rightarrow \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X>0,x>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 在大题题目所给证明条件中，若要求 $\mathrm{\exists }\xi >1$，则可令 $\epsilon -\delta$ 表达式中的 $X>0$ 更改为 $X>1$ ，迎合题目条件来写，毕竟取的是 $x>X$，而 $x\to +\mathrm{\infty }$ ，故 $X>0$ 或是 $X>1$ 也就没有什么差别了，因为一定存在这种情况 变化后的表达式：$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\Rightarrow \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X>1,x>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\epsilon$

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freeway348

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