多元函数微分学

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14 分钟

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一、基础知识结构：

• 基本概念
  • 邻域
  • 极限
  • 连续
  • 偏导数
  • 可微
• 多元函数微分法则
  • 链式求导规则
  • 全微分形式不变性
  • 隐函数存在定理（公式法）
  • 二元函数的拉格朗日定理
• 多元函数的极值与最值
  • 概念
  • 无条件极值
  • 条件最值与拉格朗日乘数法
  • 最远（近）点的垂线原理
  • 有界区域上连续函数的最值问题

二、基本概念

1. 邻域

2. 极限

设函数 $f(x,y)$ 在区间D上有定义，$P_0(x_0,y_0)\in D$ 或为区域 $D$ 边界上的一点，若对于任意给定的 $\epsilon >0$，总存在 $\delta >0$ ，当点 $P(x,y)\in D$，且满足 $0<|P{P}_0|=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$ 时，恒有：$|f(x,y)-A|<\epsilon$，则称常数A为 $(x,y)\to (x_0,y_0)$ 时 $f(x,y)$ 的极限，记作：$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=A$ 或 $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{lim}f(x,y)=A$，$\underset{P\to P_0}{lim}f(P)=A$

注意极限的定义！！！

极限具有唯一性，若极限存在，则所有路径得到的极限值必定相等，否则极限不存在

• 不仅要记住极限的脱帽法，也要熟练运用不等式的脱帽法，牢记"脱帽严格不等，戴帽非严格不等"

3. 连续

如果 $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{lim}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，如果 $f(x,y)$ 在区域D上每一处都连续，则称 $f(x,y)$ 在区域D上连续

注

如果多元函数不连续，在考研大纲中不要求讨论间断点类型

一元函数与多元函数的连续与间断的区别

4. 🌟🌟🌟偏导数

偏导数是方向导数的特例，理解偏导数时，想象一个人在山顶处往下滑，他可能会从任意方向滑下来，若我们将其放在与XoZ平面平行的一个平面内，想象其下滑路径就是在这个平面内（如下图13-4(a)），那么他沿该平面往山下滑下，则该路径的切平面就是对x的偏导数

偏导数的定义也可写作如下形式-----函数差值式：$f{\prime }_x(x_0,y_0)=\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}$ 下图所给的偏导数定义是增量式表达：

注

仅当二阶混合偏导数连续时，才与求导次序无关，即$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$；否则不成立

• 二阶偏导数与导数的求解规则差不多
  • 在某一特定点（分段点）处求偏导，使用偏导数定义进行计算
  • 非特定点（非分段点），即：区间中，直接对函数进行偏导计算
• 遇到 $f(x,y)={\int }_a^{x+y}(x-y+t)f(t)dt$ 这类被积函数中有x和y时，需要将其进行拆分：$f(x,y)=x{\int }_a^{x+y}f(t)dt-y{\int }_a^{x+y}f(t)dt+{\int }_a^{x+y}tf(t)dt$，在对x求偏导时，将y视作常数，在对y求偏导时，将x视为常数
• 遇到 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x}dt$，${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dt$，${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{a-1}{e}^{-x}dt$ 时，需要联想到 $\mathrm{\Gamma }$ 函数，使用该函数结论直接得出答案更快速
• 🌟🌟🌟二元函数的换元，例如：$f(x,y)={\int }_0^{xy}{e}^{-x{t}^2}dt$ 时，若要对x求偏导，则被积函数内不能有x，那么为了能求偏导，我们就需要想办法将被积函数中的x取出来，此时就需要换元，先从简单角度来想，若我们设 $u=x{t}^2$，则 $du=2txdt$，$dt=\frac{1}{2tx}du$，无法用 u 将 t 全部替代，所以不能这样换元，那么我们对该换元进行降次，令 $u=\sqrt{x}t$，则 $du=\sqrt{x}dt$，$dt=\frac{1}{\sqrt{x}}du=x^{-\frac{1}{2}}dt$，成功将所有 t 用 u 来代替，得到换元后的函数：$f(x,y)=x^{-\frac{1}{2}}{\int }_0^{xy}{e}^{-u^2}du$，随后即可对x求偏导
• 🌟🌟🌟两种方式求某一点的偏导数：
  1. $f{\prime }_x(x_0,y_0)=f{\prime }_x(x,y_0){|}_{x=x_0}$ ------先代值再求导（因为是对x求偏导，用不到y，所以可以先将y的值代入）
  2. $f{\prime }_x(x_0,y_0)=f{\prime }_x(x,y){|}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{x=x_0,}{y=y_0}}$ ------先求导再代值 哪种方式方便就用哪种去计算

5. 可微

TIP

当遇到 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 时，若要对其积分求得原函数，则要牢记，$\text{原函数}f(x,y)=\int \frac{\partial f}{\partial y}dx=g(x,y)+\varphi (x)$

可微的定义及必要条件

牢记可微必要条件及全微分形式，若函数可微，则可能会用到该全微分

可微的充分条件及偏导数连续的证明

注意

多元函数可微可得偏导存在，但不能保证偏导数连续（可见可微的必要条件），而偏导存在不能推出可微，只有偏导存在且连续时，才能证明可微

一元函数及多元函数在极限存在、连续、可导、可微的相互关系

多元函数可微的判别

若函数可微，则 $\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+O(\rho )$，$dz=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$，故 $\mathrm{\Delta }z-dz=O(\rho )$ ，而 $\rho =\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}$ ，所以只要作极限判断分子是否是 $\rho$ 的高阶无穷小即可判断是否可微

三、多元函数微分法则

1. 链式求导规则

对于注解中的第二点，若复合结构如下（1）所示，则假设z对x求导后得到的函数为 $f{\prime }_1(u,v)$，则$f{\prime }_1(u,v)$ 与 u、v、x、y的关系和$z=f(x,y)$ 相同，即：$f{\prime }_1(u,v)$ 的中间变量也为 u、v，且 u、v始终是与x、y有关的函数

🌟🌟🌟一般对于 $f(u,v),u=\varphi (x),v=\mathrm{\Phi }(y)$ 来说，使用 $f{\prime }_1(u,v)$ 来表示对第一个位置进行求导，即：$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}=f{\prime }_1\cdot \frac{\partial u}{\partial x}$ ^[1] 帮助理解：参考一元函数的嵌套，即：$f(g(x))$ ，对该函数求导，得到的结果还要再乘上对 $g(x)$ 求导的结果，即：$[f(g(x))]\prime =f\prime (g(x))g\prime (x)$ 有些时候也有可能将 $f{\prime }_1$ 写成 $f{\prime }_x$，需要注意识别辨认

求导的时候是对第二个位置进行求导，所以不用管第二个位置的函数到底是什么，只需要用 $f{\prime }_2$ 表示即可；对其他位置求导同理

2. 全微分不变性

设 $z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)$，如果 $f(u,v),u(x,y),v(x,y)$ 分别有连续偏导数，则复合函数 $z=f(u,v)$ 在 $(x,y)$ 处的全微分仍可表示为：$dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}$ ，两边同时乘以dx可得到dz的表达式，即如上的全微分形式，$\frac{\partial z}{\partial y}$ 也同理

3. 隐函数存在定理（公式法计算）

🌟🌟🌟公式法求导的注意事项[^3]

公式法求导时，x,y,z是独立的，不论他们之间有什么关联，在求导时均看做独立无关的变量，对x求导时，将y，z看做常数，对y和z求导时 同理

隐函数存在定理1的公式为：$\frac{dy}{dx}=-\frac{F{\prime }_x(x,y)}{F{\prime }_y(x,y)}$

隐函数存在定理2的公式记法与1相同，也是"交叉后添负号"

做题技巧

若求出 $F{\prime }_x(x,y,z)\ne 0$，则可确定存在隐函数 $x=x(y,z)$ ，求偏导过程中要将x,y,z视作三个不同的毫无关联的变量去求导

隐函数存在定理的完整叙述[^2]

设$F(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内有连续的偏导数，且$F(x_0,y_0)=0$，则$F{\prime }_y(x_0,y_0)\ne 0$是$F(x,y)=0$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内能确定一个连续函数$y=y(x)$，且满足$y_0=y(x_0)$的充分非必要条件（前者可推出后者，但后者推不出前者）

4. 二元函数的拉格朗日定理

定理

设 $f(x,y)$ 定义在区域D上，且 $\frac{\partial [f(x,y)]}{\partial x}=0$，$\frac{\partial [f(x,y)]}{\partial y}=0$，$(x,y)\in D$，则 $f(x,y)=C$（常数），$(x,y)\in D$

区分一元函数的拉格朗日定理

注意：一元函数的拉格朗日定理不是中值定理

定理：$f\prime (x)=0\Rightarrow f(x)=C$

该定理结论不能简单的推广至二元函数，会出现错误，因此要牢记这两种不同的拉格朗日定理

四、多元函数的极值与最值

1. 概念

(1) 极值定义

若存在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域（局部），使得在该邻域内任意一点$(x,y)$，均有 $f(x,y)\le f(x_0,y_0)$（或：$f(x,y)\ge f(x_0,y_0)$）成立，则称点 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的极大值点（或：极小值点） ，$f(x_0,y_0)$ 为$f(x,y)$ 的极大值（或：极小值） 极值点不要求在该点连续或可微

🌟🌟🌟二元函数极值重要结论

• 设函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数，且在点 $(x_0,y_0)$ 处取得极大值，记 $a=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}{|}_{(x_0,y_0)}$，$b=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}{|}_{(x_0,y_0)}$，则 $a\le 0,b\le 0$
  • 二阶导为0可能是变化速度过慢，难以观测导致的，所以需要考虑为0的情况
  • 似乎可以结合一元函数中求极值的第二充分条件来一同记忆（一元函数中，若$f\prime (x_0)=0,f\prime \prime (x_0)\ne 0$，则当 $f\prime \prime (x_0)<0$ 时，$f(x)$在点$x_0$处取到极大值，当$f\prime \prime (x_0)>0$ 时取到极小值）

(2) 最值定义

设点 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 定义域（整体）内一点，若对于 $f(x,y)$ 的定义域内任意一点 $(x,y)$ 均有 $f(x,y)\le f(x_0,y_0)$（或：$f(x,y)\ge f(x_0,y_0)$） 成立，则称$f(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的最大值（或：最小值）

2. 无条件极值

(1) 二元函数取极值的必要条件（类比一元函数）

设 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处一阶偏导数存在且取到极值，则 $f{\prime }_x(x_0,y_0)=0,f{\prime }_y(x_0,y_0)=0$ 注意：若一阶偏导存在且取到极值，则在该点对两个方向的一阶偏导均为0 结合费马定理记忆：一元函数$y=f(x)$ 在点$x=x_0$ 处可导且取到极值时，则 $f\prime (x_0)=0$

• 该必要条件同样适用于三元及三元以上的函数，只要一阶偏导存在且取到极值，则在该点处所有方向的一阶偏导数均为0

偏导数不存在的点也可能是极值点

总结：要找可疑点：

1. $f{\prime }_x(x_0,y_0)=0,f{\prime }_y(x_0,y_0)=0$的点
2. 偏导数不存在的点（根据定义判断：一阶偏导数在该不存在的点左右是否符号相反）

(2) 二元函数取极值的充分条件 （该充分条件不适用于三元及三元以上的函数）

3. 条件极值与拉格朗日乘数法

4. 根据实际问题，必存在最值，所得即为所求

TIP

若约束条件不是封闭图形，则在求出可能的最值点的函数值后，还要考虑边界情况；若是封闭图形则无需考虑边界情况

4. 最远（近）点的垂线原理

5. 有界闭区间上连续函数的最值问题

1. 理论依据-----最大值与最小值定理：在有界闭区域D上的多元连续函数，在区域D上一定有最大值和最小值
2. 求法：
   1. 根据 $f{\prime }_x(x,y)$，$f{\prime }_y(x,y)$为0或不存在，求出区域D内部的所有可疑点
   2. 用拉格朗日乘数法或代入法（式子较简单时可用）求出区域D边界（相当于一元函数的区间端点）上的所有可疑点
   3. 比较以上所有可疑点的函数值大小，取其最小者为最小值，最大者为最大值
      • 可与一元函数求最值做联系和对比，以方便记忆

TIP

拉格朗日乘数法是求条件最值的重要方法，其本质是求出所有区域D的符合约束条件（边界上）的驻点（极值点），并比较所有驻点的函数值最终得出最值

TIP

为什么用一阶偏导数只能求出区域D内部的可疑点（可疑点：可能是驻点）？ 因为偏导数和导数定义类似，需要在某点左右偏导数（属于左右邻域）均存在，才能说该点存在偏导数，而在边界上仅有一侧的偏导数，构不成完整偏导数，故说在边界上不存在偏导数，所以要用拉格朗日乘数法来求出边界上的所有可疑点

贡献者

freeway348

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74226-Create 抓阄原理.md

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1. 重点理解多元链式求导 ↩︎