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一、不定积分

1. 原函数与不定积分

• 设函数 $f(x)$ 定义在某区间 $I$ 上，若存在可导函数 $F(x)$，对于该区间上任意点，均有 $F\prime (x)=f(x)$成立，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。称 $\int f(x)dx=F(x)+C$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分

tip

若 $f(x)$ 存在原函数 $F(x)$，则 $F(x)$ 为可导函数，可知：$F(x)$ 连续（可导必连续）

• 由定义来判断振荡间断点是否存在原函数：已知 $f(x)$ 和 $F(x)$ ，判断存在振荡间断点 $x_0$ 时，$F(x)$ 是否为 $f(x)$ 的原函数，则先对 $F(x)$ 求导，分段点处需要用导数定义求导，非分段点则直接求导，算出来后与 $f(x)$ 比较，若相同，则 $f(x)$ 存在原函数 $F(x)$

2. 🌟🌟🌟原函数（不定积分）存在定理

1. 连续函数 $f(x)$ 一定有原函数 $F(x)$
   • 证明：图中的变限积分就是一个原函数
2. 含有第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点）和无穷间断点的区间内一定没有原函数
   • 证明第一类间断点无原函数，可在间断点（分段点）处用导数的定义+洛必达（结果存在才能用洛必达）
3. 含有振荡间断点的区间可能有原函数，也可能没有
   • 有界振荡和无界振荡都可能存在原函数，主要看是否函数 $f(x)$ 是否连续，若是因为极限不唯一而导致的振荡，但微观上看，函数图像仍是连续的（间断点不是真的断）（理解：振荡间断点，图像是连续，只是由于连续的定义，所以才说是间断（微观上））
4. 函数 $f(x)$ 与 $f\prime (x)$ 的区别
   • 若 $f\prime (x)$ 在区间 $[a,b]$ 存在，则说明 $f\prime (x)$ 的原函数 $f(x)$ 连续，故 $f\prime (x)$ 无第一类间断点

二、定积分(也称为黎曼积分)

1. 定义（）

待补充，见基础30讲P251

定积分的精确定义

需要记忆

考试时可能会遇到使用定积分定义更容易解决的题目，需要结合定义进行分析，此时就需要会默写定义，取左右端点的情况都要清楚，并且如果取左端点，且从 $i=1$ 开始取，要会变通

将 $[a,b]$ $n$ 等分且取每个小区间的右端点为 ${\xi }_1$，则： $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{b-a}{n}={\int }_a^{b}f(x)dx$ 当 $a=0,b=1$ 时，得出的形式更简单：${\int }_0^{1}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}$
若取左端点为 ${\xi }_1$，则： $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=0}^{n-1}f(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{b-a}{n}={\int }_a^{b}f(x)dx$，或$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}(i-1))\frac{b-a}{n}={\int }_a^{b}f(x)dx$

2.🌟🌟🌟存在定理

定积分的存在定义，也称为一元函数的（常义）可积性；这里的“常义”指的是“区间有限，函数有界”

（1）定积分存在的充分条件

即：满足以下条件之一，则定积分存在

1. 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 存在
   • 🌟闭区间上连续函数一定有界；连续函数一定有定积分和不定积分（连续函数一定有原函数，但原函数$\ne$不定积分）
2. （考纲里没有） 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 存在
   • 由于函数单调，故 $f(a),f(b)$ 即为函数的界，对于任意 $x\in (a,b)$，$f(x)$ 一定介于 $f(a),f(b)$ 之间
   • 闭区间上的单调函数一定有界，因为其在两端点处均有定义（可取到端点）
3. 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点（不包含无穷间断点），则 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 存在

（2）定积分存在的必要条件

定积分存在，则必定有如下结论

• 可积函数必有界，即：若定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 存在，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有界

3. 🌟🌟性质

两个规定： （1）当 $b=a$ 时，${\int }_a^{a}f(x)dx=0$ （2）当 $a>b$ 时，${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$

1. 性质1（求区间长度）：假设 $a<b$，则 ${\int }_a^{b}dx=b-a=L$，其中 $L$ 为区间 $[a,b]$ 的长度
2. 性质2（积分的线性性质）：设 $k_1,k_2$ 为常数，则 ${\int }_a^b[k_{1}f(x)\pm k_{2}g(x)]dx=k_1{\int }_a^{b}f(x)dx\pm k_2{\int }_a^{b}g(x)dx$
3. 🌟性质3（积分的可加（拆）性）：无论 $a,b,c$ 的大小如何，总有 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$
4. 🌟性质4（积分的保号性）：若在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)\le g(x)$，则有 ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$，特殊地，有 $|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$
   • 等号仅在 $[a,b]$ 上 $f(x)$ 恒等于 $g(x)$ 时成立
   • 记忆口诀：亡羊补牢（积分完之后再取绝对值） $\le$ 未雨绸缪（取完绝对值之后再积分）
5. 性质5（估值定理）：设 $M,m$ 分别是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，$L$ 为区间 $[a,b]$ 的长度，则有：$mL\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le ML$
6. 🌟🌟🌟性质6（积分中值定理）：设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则在 $[a,b]$ 上至少存在一点 $\xi$，使得 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$
   • 可同时记忆一下牛顿莱布尼茨公式：${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

可积

可积指的是存在定积分（反常积分不是定积分）（变限积分是特殊的定积分）

三、变限积分

1. 概念

• 当 $x$ 在 $[a,b]$ 上变动时，对应于每一个 $x$ 值，积分 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 都有一个确定的值，因此 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 是一个关于 $x$ 的函数，记作 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt(a\le x\le b)$ ，称函数 $F(x)$ 为变上限的定积分，同理可定义变下限的定积分和上下限都变化的定积分，这些都称为变限积分，事实上，变限积分就是定积分的推广

2. 🌟🌟🌟性质

由 $f(x)$ 可得出的性质

$f(x)$ 可导 $\Rightarrow$连续 $\Rightarrow$ 可积 $\Rightarrow$ 有界

1. 函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可积，则函数 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ 在 $I$ 上连续
   • 可由定积分的必要条件得：函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 必定有界
   • 证明可见基础30讲P262
2. 🌟🌟🌟函数 $f(x)$ 在 $I$ 上连续，则函数 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ 在 $I$ 上可导且 $F\prime (x)=f(x)$，即：原函数存在
3. 若 $x=x_0\in I$ 是 $f(x)$ 唯一的跳跃间断点，则 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ 在 $x_0$ 处不可导（不是原函数），且 $F_{-}\prime (x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)$ ，$F_{+}\prime (x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$ （均由导数定义+洛必达法则求得），可知 $F_{-}\prime (x_0)\ne F_{+}\prime (x_0)$ ，即：$F(x)$ 在 $x_0$ 处不可导
   • 可导必定连续，连续不一定可导
   • 因为 $dx\to 0$ 时，在跳跃间断点 $x_0$ 处，变化量（积分） $dy$ （$y=F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$）不会突变，只有变化率 $\frac{dy}{dx}$ 会突变，故函数 $F(x)$ 仍然是连续的
4. 若 $x=x_0\in I$ 是 $f(x)$ 唯一的可去间断点，则 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ 在 $x_0$ 处可导（不是原函数），且 $F\prime (x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\ne f(x_0)$

注意

若使用第3、 4条性质，则需要注意，该变限积分所在的区间内，其原函数存在第一类间断点才能使用这两条性质

四、反常积分

1. 概念

• 定积分（常义积分）存在两个必要条件：积分区间有限和被积函数有界
• 反常积分是广义积分，如果破坏被积函数的有界性，就引出无界函数的反常积分，如果破坏积分区间的有限性，则得到无穷区间上的反常积分

2. 反常积分敛散性的判别

3. 两函数对比时，敛散性的判别法

• 仅在奇点处可判别敛散性，一般为 $\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型
• 便于记忆：更小的函数发散，则另一个更大的函数也发散；更大的函数收敛，则另一个更小的函数也收敛
  • 或者可以这样想：收敛速度慢的都收敛了，那么收敛速度更快的也一定收敛
• 反常积分函数值越小越收敛，越大越发散

• 当区间有限时，$p$ 越小越收敛，当区间无穷时，$p$ 越大越收敛

4. 🌟🌟🌟重要结论

前提：对称区间（仅针对前两点奇偶函数的偶倍奇零）

1. 当 $f(x)$ 为偶函数且 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 收敛时，${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$
2. 当 $f(x)$ 为奇函数且 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 收敛时，${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=0$
3. ${\int }_0^1\frac{\ln x}{x^p}$ ：收敛：$0<p<1$ ； 发散：$p\ge 1$
4. ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln x}{x^p}$ ：收敛：$p>1$；发散：$0<p\le 1$

• $\ln x$ 不管趋近于0还是趋近于 $+\mathrm{\infty }$ 的速度都比 $x^a(\mathrm{\forall }a>0)$ 慢
• 🌟当 $x\to 0$ 时，$\ln x$ 趋于0 的速度远小于 $x^a(\mathrm{\forall }a>0)$ ，故 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^a\ln x=0$
• 🌟当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时，$\ln x$ 趋于 $+\mathrm{\infty }$ 的速度远小于 ${\frac{1}{x}}^a(\mathrm{\forall }a>0)$ ，即：$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{-a}\ln x=0$

贡献者

freeway348

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