单源最短路

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1694 字

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8 分钟

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分类

边权非负

1. 朴素Dijstra算法

• 适用于稠密图，时间复杂度为$O(n^2)$

2. 堆优化版Dijstra算法

• 适用于稀疏图，时间复杂度为$O(m\log n)$，m 为询问次数，n 为建图的点个数

有负边权

大多数情况均使用SPFA算法，仅少数情况使用Bellman-ford算法，所以只需要了解SPFA算法（平均时间复杂度为$O(m)$，最坏时间复杂度为$O(nm)$，可能会被卡）即可

难点/重点

最难的是问题的转化与抽象，如何将问题转化为对应的模板问题，用于求解两个点之间的一条最短路径

建图

稠密图：边数 >= 顶点数的平方
稀疏图：边数 < 顶点数的平方

邻接表建图（稀疏图）

void add(int a, int b, int c) // 建立一条由 a 指向 b 的边
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
} // e：当前边的终点（即 b），ne：下一条边的终点

假设我们有 1, 2, ..., n 个点，则用邻接表建图，一共有 n 个邻接表
若需要建立一条由 1 指向 2 的边，边权为 c，则 add(1, 2, c)，使得在邻接表a 的表头 h[1] 后建立了一条指向 2 的边，即：
h[1]: 2 → -1
若再添加一条边，使得 1 指向 3，边权为 c，则 add(1, 3, c)，得到邻接表:
h[1]: 3 → 2 → -1

邻接矩阵建图（稠密图）

直接存储
int dist[N][N];

for (int i = 1; i <= n; i ++)
	for (int j = 1; j <= n; j ++)
		cin >> dist[i][j];

例题

热浪（SPFA）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 2510, M = 6200 * 2 + 10;
int n, m, S, T; // 点数，边数，起点，终点
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx; // 邻接表存储
int dist[N], q[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c) // 建立一条由 a 指向 b 的边
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

void spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[S] = 0; // 起点距离设置为 0
	 //因为是循环队列，所以要保证初始条件 hh != tt 能成立，我们正常使用模拟队列可能习惯了使 hh = 0, tt = 0，并用 while(hh <= tt)来作为循环条件，所以可能对此处的 tt = 1心存疑惑。其实很简单，此处需要保证循环队列成立，故 tt 指向的是下一空位，而非指向队尾元素；若 hh == tt，则说明循环队列中不存在
	 // tt 始终指向下一可插入的位置，hh 指向当前待处理元素的位置
    int hh = 0, tt = 1; // 注意循环队列初始条件
    q[0] = S, st[S] = true;
    // 使用循环队列是因为每次更新最短距离路径都可能加入新的节点
    while(hh != tt) // 队列不空的判断是 hh != tt, 也可以直接用queue<int> q[N], 这样就不用写 if(hh == N) h = 0 来模拟循环队列了
    {
        int t = q[hh ++];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false; // 将 t 出队，清除 st

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            // 只有当经过某一节点，并更新了最短路径，才可能是最短路径所在的节点，所以才能加入队列？
            if (dist[j] > dist[t] + w[i]) // 更新最短路
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j]) // 判断该点是否已经在队列中，避免重复处理同一个点
                {
                    q[tt ++] = j; 
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }

    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> S >> T;
    memset(h, -1, sizeof h); // 初始化表头不能忘

    for (int i = 0; i < m; i ++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    spfa();

    cout << dist[T] << endl;

    return 0;
}

最小花费（Dijkstra）

// 1126
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 2010;
int n, m, S, T;
double g[N][N];
double dist[N];
bool st[N];

void dijkstra()
{
	// 这里是求百分比乘积最大，所以设置为1，若是求最短路，则将dist[S] = 0;
    dist[S] = 1; // 1 乘任何数都是它本身
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] < dist[j]))
                t = j;
        }
        st[t] = true;

        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            dist[j] = max(dist[j], dist[t] * g[t][j]);
        // 若是求最短路，则使得dist[j] = min(dist[j],dist[t] + g[t][j]); 
// 枚举每一个点，判断从 1 号点出发，经过中间点 t 的路线与直接到 j 号点的距离哪个更短
    }

}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        double z = (100.0 - c) / 100;
        g[a][b] = g[b][a] = max(g[a][b], z);
    }

    cin >> S >> T;

    dijkstra();

    cout << (100 / dist[T]) << endl;
    
    return 0;
}

堆优化版Dijkstra

// Dijkstra算法求最短路 
// 题目：给定一个 n 个点，m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正数，求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 -1
// 范围：1 <= n <= 1e6; 1 <= m <= 1e6 ---------- 稀疏图 ----------- 邻接表
// 输入：第一行包括两个整数 n 和 m，接下来 m 行包含三个整数 x,y,z，表示点 x 和点 y 之间有一条有向边，其边权（边长）为 z
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;

typedef pair<int,int> PII;
const int N = 100010;
int n,m;
int idx,e[N],ne[N],h[N],w[N]; // w 存权值
int dist[N]; // dist[i]： 1 号点到 i 号点的最短距离
bool st[N]; // st[i]：记录点 i 是否已经为最短距离 

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx, idx ++;
}

int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0; // 1 号点是起点

    priority_queue<PII,vector<PII>, greater<PII> > heap;
    heap.push({0,1}); // first 存权值（从 1 号点到该点的最短距离）,second 存第 i 号点 ---------- 因为小根堆的排序是先将 first 从小到大排完之后再排second
    
    while(heap.size())
    {
        auto t = heap.top(); // 每次找到一个点最短距离
        heap.pop();
        int ver = t.second, distance = t.first;
        if (st[ver]) continue;

        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > distance + w[i])
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j],j});
            }
        }

    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    while(m --)
    {
        int a,b,c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a,b,c);
    }
    int t = dijkstra();
    cout << t << endl;
    return 0;
}

分类情况做法

1. 边权均 $\ge 1$，则可以用Dijstra算法
2. 所有边的权值 $\ge 0$ ，可以大于1，也可以小于1，相当于有负权边的最短路问题（因为 $\log x$，当 $0<x<1$ 时，$\log x<0$，可视为边权 < 0），则只能用SPFA算法

贡献者

freeway348

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